Teorema de Rolle

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], direfenciable en el intervalo abierto (a,b) y sean f(a)= 0 y f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a,b) tal que f'(c)= 0.

El Matemático fránces Michel Rolle (1652-1719) demostró que si una función f satisface las siguientes condiciones:

1) es continua el intervalo cerra [a,b]
2) es diferenciable en el intervalo abierto (a,b)
3) f(a) = f(b) = 0

Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a,b) tal que f'(c) = 0
Una representación geométrica de este teorema se da a continuación.

Las curvas muestran la gráfica de una fucnión f que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle. Observamos que hay al menos un punto sobre las curvas entre los puntos (a,0) y (b,0) donde la recta tangente es paralela al eje x, esto es, la pendiente de la recta tangente es cero (pendiente nula), tal que f'(c) = 0.

Si la pendiente es nula, entonces la primera derivada de la función f'(c) en ese punto es cero, ya que la pendiente y la primera derivada de la función en ese punto son iguales.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Sabemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación:

m = tan ángulo

La primera derivada de una función y' en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en ese punto.

y' = mt

Si o es un ángulo agudo (<90°),>0.

Si o es un ángulo agudo (>90°), la pendiente, y por lo tanto y' será negativa, esto es <0.

f(x) es creciente en x = a, si f'(a) >0
f(x) es decreciente en x = b, si f'(b)>0


Como la derivada de una función creciente es positiva y la derivada de una función decreciente es negativa, se sigue que la derivada de la función debe cambiar de signoen un valor máximo o en un mínimo y, por tanto, debe hacerse cero o infinita.