lunes, 8 de junio de 2009

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Mendoza Albor Jesús Michel

Puntos de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.


Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

Se halla la primera derivada de


Se halla la segunda derivada de



Se halla la tercera derivada de




Se iguala la segunda derivada a 0:


Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:


Se halla la imagen de cada Xi sustituyendo la variable dependiente en la función.

Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada Xi

Si ,



se tiene un punto de inflexión en .


Si ,


debemos sustituir Xi en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la Xi que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.

Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

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